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数学A / 図形の性質 / 垂心

まず、この問題から。問題文△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。

図形・証明全単元ナビ8分

垂心

図形の性質で「垂心」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。 最初の一手は「仮定を図へ書き込み既知量を探す」。答えを出したら、「図の見た目で等しいと決める」という間違いがないかを確認します。

見抜き方
図形の性質で「垂心」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。
最初の一手
仮定を図へ書き込み既知量を探す
求めるもの
長さ・角・面積・位置関係と根拠
典型的な罠
図の見た目で等しいと決める
到達レベル
基礎〜教科書標準
記事状態
要点・例題・演習 公開済み
01 / QUICK ANSWER

30秒でわかる答え

仮定を図へ書き込み既知量を探す

図形の性質で「垂心」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。 最初の一手は「仮定を図へ書き込み既知量を探す」。答えを出したら、「図の見た目で等しいと決める」という間違いがないかを確認します。

「垂心」または同じ条件が現れる長さ・角・面積を求める図形の性質を示す
02 / WHY?

なぜそうなる？

WHY

垂心では、なぜこの手順から始めるの？

図は少しゆがんで描かれることがありますが、定義や定理で保証された性質は変わりません。見た目ではなく根拠をつなぐことで、どんな図でも同じ方法が使えます。

03 / CORE POINTS

ここだけは押さえる4点

  1. 01

    図形の性質で「垂心」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。

  2. 02

    最初にすること：仮定を図へ書き込み既知量を探す。

  3. 03

    目標：長さ・角・面積・位置関係と根拠まで、根拠をつないで示す。

  4. 04

    見直し：「図の見た目で等しいと決める」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。

04 / WORKED EXAMPLES

考え方がつながる例題3問

例題 1 / まず解く

図形の性質の入口問題

△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。

ヒント・解説を見る

ヒントBD:DC=6:9=2:3です。

  1. 角の二等分線定理よりBD:DC=AB:AC=6:9=2:3。
  2. 比の合計5がBC=10cmに対応するので、1あたり2cm。
  3. BD=2×2=4cm、DC=3×2=6cm。

答えBD=4cm、DC=6cm

確かめBD＋DC=4＋6=10cmでBCと一致し、4:6=2:3です。

例題 2 / 定義へ戻る

同じ問題を、定義から考える

【問題文をもう一度】△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。 この問題で使った「垂心」の定義・性質を説明しなさい。

ヒント・解説を見る

ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。

  1. 角の二等分線定理で辺の比を作る。
  2. BD:DC=AB:ACを約分する。
  3. 比の合計をBC=10cmに対応させる。

答え三角形の角の二等分線は、向かい側の辺を両隣の辺の比に内分します。

確かめ定義と最初の一手「仮定を図へ書き込み既知量を探す」がつながっているか確認します。

例題 3 / 検算する

問題文の条件へ答えを戻す

【問題文をもう一度】△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。

ヒント・解説を見る

ヒント「図の見た目で等しいと決める」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。

  1. 仮定を図へ書き込み既知量を探す
  2. 比の合計5がBC=10cmに対応するので、1あたり2cm。
  3. BD=2×2=4cm、DC=3×2=6cm。
  4. 答えを問題文の条件へ戻す

答えBD=4cm、DC=6cm

確かめBD＋DC=4＋6=10cmでBCと一致し、4:6=2:3です。

05 / PRACTICE

基礎→標準→発展の3段階演習

Q1基礎

【問題文】△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。

答えと解説
BD=4cm、DC=6cm

BD:DC=6:9=2:3です。 BD＋DC=4＋6=10cmでBCと一致し、4:6=2:3です。

Q2標準

【同じ問題を説明する】△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。

答えと解説
角の二等分線定理で辺の比を作る。 → BD:DC=AB:ACを約分する。 → 比の合計をBC=10cmに対応させる。

三角形の角の二等分線は、向かい側の辺を両隣の辺の比に内分します。

Q3発展

【同じ問題を検算する】△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。 「垂心」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。

答えと解説
BD=4cm、DC=6cm。BD＋DC=4＋6=10cmでBCと一致し、4:6=2:3です。

「図の見た目で等しいと決める」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。

06 / ERROR CLINIC

間違いを、理由から直す

図の見た目で等しいと決める

答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「仮定を図へ書き込み既知量を探す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。

見直しの合言葉

入力の条件、途中の根拠、出力「長さ・角・面積・位置関係と根拠」の三つがつながっているかを確認します。

07 / QUESTIONS

よくある「なぜ？」

垂心は何を覚えればよい？

答えの形だけでなく、「仮定を図へ書き込み既知量を探す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。

途中で分からなくなったら、どこへ戻る？

問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「垂心」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。

できたかどうかは、どう判断する？

初見の類題で初手を自分で選び、「図の見た目で等しいと決める」を避けて理由まで説明できれば合格です。