まず1問 中1・一元一次方程式
数強塾本体の中1「方程式の文章題」を、考え方まで学べる形に拡張しています。
答えを見る前に、問題文の条件と「何を求めるか」を自分の言葉で確認してください。中1から数学IIIまで、考え方の違う6問を用意しました。
30人の通学時間を調べました。0分以上5分未満：2人、5分以上10分未満：6人、10分以上15分未満：10人、15分以上20分未満：8人、20分以上25分未満：4人です。①15分未満の生徒の相対度数、②最も度数が大きい階級を求めなさい。
相対度数＝その範囲の度数÷総度数。最頻階級は、度数が最も大きい階級です。
15分未満は 2＋6＋10＝18人です。
30人の通学時間を調べました。0分以上5分未満：2人、5分以上10分未満：6人、10分以上15分未満：10人、15分以上20分未満：8人、20分以上25分未満：4人です。①15分未満の生徒の相対度数、②最も度数が大きい階級を求めなさい。
解答・確かめ18÷30＝0.6、つまり60％。最頻階級は10分以上15分未満です。
AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、D は辺 BC の中点です。線分 AD を引くとき、∠BAD＝∠CAD であることを証明しなさい。
中点なら BD＝CD。三辺がそれぞれ等しい2つの三角形は合同で、対応する角は等しくなります。
△ABD と △ACD を比べます。
AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、D は辺 BC の中点です。線分 AD を引くとき、∠BAD＝∠CAD であることを証明しなさい。
解答・確かめAB＝AC、BD＝CD、AD＝AD より三辺がそれぞれ等しいので △ABD≡△ACD。対応する角より ∠BAD＝∠CAD。
縦5m、横12mの長方形の広場があります。一つの頂点から向かい側の頂点まで、広場内を一直線に横切る道を作ります。道の長さを求めなさい。
直角三角形で、斜辺を c、他の二辺を a、b とすると a²＋b²＝c² です。
道の長さを d m として、d²＝5²＋12²。
縦5m、横12mの長方形の広場があります。一つの頂点から向かい側の頂点まで、広場内を一直線に横切る道を作ります。道の長さを求めなさい。
解答・確かめd²＝25＋144＝169 より、道の長さは d＝13m。
川に接する一辺には柵を設けず、残りの三辺に合計20mの柵を使って長方形の囲いを作ります。囲いの面積を最大にする各辺の長さと、その最大面積を求めなさい。
y＝a(x−p)²＋q で a＜0 なら、x＝p が定義域内にあるとき最大値は q です。
面積を S＝x(20−2x) と表します。
川に接する一辺には柵を設けず、残りの三辺に合計20mの柵を使って長方形の囲いを作ります。囲いの面積を最大にする各辺の長さと、その最大面積を求めなさい。
解答・確かめS＝−2(x−5)²＋50。垂直な二辺を5m、残る一辺を10mにすると、最大面積は50m²。
区別できる2個の公平なさいころを同時に投げたところ、出た目の和が8であることが分かりました。この条件のもとで、少なくとも一方の目が3である確率を求めなさい。
条件付き確率では、標本空間を条件を満たす結果だけに更新します。P(B|A)＝P(A∩B)÷P(A)。
和が8になる組は (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)。
区別できる2個の公平なさいころを同時に投げたところ、出た目の和が8であることが分かりました。この条件のもとで、少なくとも一方の目が3である確率を求めなさい。
解答・確かめ5通りのうち3を含むのは2通りなので、確率は 2/5。
関数 f(x)＝(x²＋1)³ の導関数 f′(x) を求め、x＝1 における接線の傾きを求めなさい。
合成関数の微分法：{F(g(x))}′＝F′(g(x))g′(x)。
u＝x²＋1 と置き、u³ を微分してから du/dx を掛けます。
関数 f(x)＝(x²＋1)³ の導関数 f′(x) を求め、x＝1 における接線の傾きを求めなさい。
解答・確かめf′(x)＝6x(x²＋1)²。したがって f′(1)＝24。
JUNIOR 1 → MATHEMATICS III / 52 UNITS / 1,565 THEMES
中1から数学IIIまで、覚える公式だけでなく、いつ使うか・最初に何を書くか・どこで間違えるかまで整理しました。必要なテーマの解説と練習へ、その場から進めます。
どこから始めるか迷ったら、今の苦手に近いチャンネルを選んでください。関連する単元を、学年をまたいでたどれる4本のルートです。
ノートを1人に3冊ずつ配ると8冊余り、4冊ずつ配るには7冊足りません。生徒数とノートの総数を求めなさい。
正負の計算 → 文字で数量を表す → 等式を作る
計算ミスを一つずつほどき、文章題を式にできるところまで進む。
点 (1,3) と (4,9) を通る直線の式を求めなさい。どの2つの量を先に見つけますか。
座標 → 変化量の比 → 傾きと切片
表・式・グラフの見方を、学年をまたいで同じ視点でつなぐ。
縦5m、横12mの長方形の対角線の長さを求めなさい。どこに直角三角形が見えますか。
作図と角 → 合同・相似 → 三平方
図に条件を書き、根拠を言葉にして、長さの計算へつなげる。
60人を無作為に調べると18人がAを選びました。全校600人では何人ほどと推定できますか。
度数と割合 → 比較 → 無作為抽出と推定
グラフを読むだけで終わらず、比較・標本・推測まで順に進む。
現行の学習内容に合わせ、中1のデータと確率、中2の反例と比較、中3の標本調査を、すぐ開ける独立テーマとして収録しています。
度数を順に足し、どこまでに何人いるかを読む。
要点と学び方を見る →C-02 / 中1 / 確率相対度数の安定から、確率の意味を実験的に捉える。
要点と学び方を見る →C-03 / 中2 / 証明命題の逆をつくり、成り立たない例を一つ示して判断する。
要点と学び方を見る →C-04 / 中2 / データ中央値・四分位範囲・重なりから、言えることの限界まで読む。
要点と学び方を見る →C-05 / 中3 / データ母集団・標本・無作為抽出を分け、推定の確かさを考える。
要点と学び方を見る →収録内容確認：2026年8月25日 ／ 学年配置の基準：文部科学省 中学校学習指導要領解説・数学編 ↗
主要な公式を、式の形だけでなく「使える条件」と「最初の一手」で整理しました。各カードから、使い方と関連テーマを詳しく確認できます。
数の距離
|−7|＋|3| を計算しなさい。
0からの距離なので 7＋3＝10。
一次方程式
方程式 5x−7＝18 を解きなさい。
両辺に7を足して 5x＝25、よって x＝5。
比例・反比例
y は x に比例し、x＝4 のとき y＝12です。x＝7 のときの y を求めなさい。
a＝12÷4＝3 なので y＝3x。答えは21。
一次関数
点 (1,3) と (4,9) を通る一次関数の式を求めなさい。
傾きは (9−3)÷(4−1)＝2、切片は1。y＝2x＋1。
展開・因数分解
(x−4)² を展開しなさい。
x²−8x＋16。中央項の符号まで確認します。
平方根
√12×√3 を計算しなさい。
√36＝6。
二次方程式
2x²−3x−2＝0 を解きなさい。
x＝2、−1/2。代入するとどちらも左辺が0になります。
直角三角形
直角をはさむ2辺が6cm、8cmの直角三角形で、斜辺を求めなさい。
√(6²＋8²)＝√100＝10cm。
二次関数
y＝x²−6x＋5 を平方完成し、頂点を求めなさい。
y＝(x−3)²−4。頂点は (3,−4)。
正弦定理
△ABCで A＝30°、B＝90°、a＝4 のとき b を求めなさい。
4/sin30°＝b/sin90° より b＝8。
余弦定理
2辺が5、7、その間の角が60°の三角形で、残る辺を求めなさい。
c²＝5²＋7²−2·5·7·cos60°＝39。よって c＝√39。
組合せ
8人から順序を区別せず2人を選ぶ方法は何通りですか。
₈C₂＝8·7÷2＝28通り。
条件付き確率
2個のさいころの和が8だと分かっています。少なくとも一方が3である確率は？
和が8の5通り中、3を含むのは2通り。2/5。
三角関数
sin75° を加法定理で求めなさい。
sin(45°＋30°)＝(√6＋√2)/4。
対数
log₂8＋log₂4 を一つの対数にまとめて値を求めなさい。
log₂(8·4)＝log₂32＝5。
等差数列
初項4、公差3の等差数列の第12項を求めなさい。
a₁₂＝4＋(12−1)·3＝37。
標準化
平均60、標準偏差8のデータで、値72の z 得点を求めなさい。
z＝(72−60)÷8＝1.5。
ベクトル
ベクトル a＝(2,1)、b＝(1,−2) の内積を求め、位置関係を答えなさい。
a・b＝2·1＋1·(−2)＝0。2つは垂直。
合成関数の微分
f(x)＝(x²＋1)³ を微分し、f′(1)を求めなさい。
f′(x)＝6x(x²＋1)²、f′(1)＝24。
置換積分
∫2x cos(x²) dx を求めなさい。
t＝x² と置くと、sin(x²)＋C。
到達目標・最初の一手・典型ミスを見比べて、復習したいテーマを選べます。学年をまたぐ検索にも対応しています。
52単元・1,565テーマを表示
8単元 / 291テーマ
符号・絶対値・数直線を一体で理解し、四則計算と数量の変化を正確に表す。
次の計算をしなさい。 −8＋13−(−4)
負の数を引くことは、その数の反対の数を加えることと同じです。
−(−4)を＋4に直します。
次の計算をしなさい。 −8＋13−(−4)
解答9
確かめ−8から右へ13進むと5、さらに右へ4進むと9です。
数量の関係を文字式へ翻訳し、式の値・一次式の計算・関係の説明へ進む。
1冊120円のノートをx冊と、80円のペンを1本買います。代金をxを使った式で表し、x=3のときの代金を求めなさい。
文字式では、変化する数量を文字で表し、数量どうしの関係を式にします。
ノートx冊の代金は120x円です。
1冊120円のノートをx冊と、80円のペンを1本買います。代金をxを使った式で表し、x=3のときの代金を求めなさい。
解答式は120x＋80、x=3のとき440円
確かめノート3冊360円とペン80円を直接足しても440円です。
等式の性質と同値変形を土台に、文章の数量関係を一つの未知数で解く。
方程式 3(x−2)＋5=20 を解きなさい。
方程式の解は、等式を成り立たせる文字の値です。
左辺を整理すると3x−1になります。
方程式 3(x−2)＋5=20 を解きなさい。
解答x=7
確かめ3(7−2)＋5=15＋5=20となり、右辺と一致します。
表・式・グラフを往復し、変化と対応から二つの数量の関係を見抜く。
yはxに比例し、x=4のときy=12です。yをxの式で表し、x=−5のときのyを求めなさい。
y=ax（aは一定）で表せる関係を比例といい、aを比例定数といいます。
12=4aから比例定数を求めます。
yはxに比例し、x=4のときy=12です。yをxの式で表し、x=−5のときのyを求めなさい。
解答y=3x、x=−5のときy=−15
確かめy÷xは12÷4=3、(−15)÷(−5)=3で一定です。
移動・作図・円とおうぎ形を、図の観察ではなく性質と手順で扱う。
線分ABの垂直二等分線上に点Pがあります。PA=6.2cmのとき、PBの長さを求め、根拠も答えなさい。
線分ABの垂直二等分線上の点は、端点A、Bから等しい距離にあります。
PはAとBから等距離です。
線分ABの垂直二等分線上に点Pがあります。PA=6.2cmのとき、PBの長さを求め、根拠も答えなさい。
解答PB=6.2cm
確かめPA=PB=6.2cmとなり、垂直二等分線上の点の性質を満たします。
立体を見取図・展開図・投影図で捉え、位置関係と表面積・体積を求める。
底面の半径が3cm、母線が5cmの円錐の表面積を求めなさい。
円錐の側面積はπ×底面の半径r×母線l、表面積は側面積と底面積の和です。
側面積はπ×3×5です。
底面の半径が3cm、母線が5cmの円錐の表面積を求めなさい。
解答24πcm²
確かめ展開図の側面15πcm²と底面9πcm²を足すと24πcm²です。
目的に応じてデータを集め、度数分布・代表値・相対度数から傾向を判断する。
データ 3, 5, 5, 7, 10 の平均値、中央値、最頻値、範囲を求めなさい。
中央値は並べたデータの中央、最頻値は最も多く現れる値、範囲は最大値−最小値です。
5個の合計は30です。
データ 3, 5, 5, 7, 10 の平均値、中央値、最頻値、範囲を求めなさい。
解答平均値6、中央値5、最頻値5、範囲7
確かめ平均値6を5倍すると合計30に戻り、並びの中央は確かに5です。
多数回の試行と相対度数から確率の意味を捉え、起こりやすさを判断する。
同じコインを200回投げると表が112回出ました。この実験から表の出る確率を推定し、同じ条件で500回投げると表は約何回出ると予想できるか求めなさい。
多数回の試行では、ある事象の相対度数をその事象の確率の推定値として使えます。
112÷200を先に計算します。
同じコインを200回投げると表が112回出ました。この実験から表の出る確率を推定し、同じ条件で500回投げると表は約何回出ると予想できるか求めなさい。
解答推定確率0.56、約280回
確かめ280÷500=0.56となり、観測した相対度数と一致します。
8単元 / 252テーマ
多項式の加減と単項式の乗除を正確に行い、文字式で数の性質を説明する。
式 3a−2b−(a＋5b) を簡単にし、a=4、b=−1のときの値を求めなさい。
同じ文字部分をもつ項を同類項といい、係数を加減してまとめられます。
−(a＋5b)=−a−5bです。
式 3a−2b−(a＋5b) を簡単にし、a=4、b=−1のときの値を求めなさい。
解答2a−7b、値は15
確かめ元の式でも12＋2−(4−5)=14−(−1)=15です。
二つの条件を二元一次方程式で表し、加減法・代入法を選んで解く。
大人券2枚と子ども券3枚で3900円、大人券3枚と子ども券2枚で4100円です。大人券と子ども券の1枚の値段を求めなさい。
二つの未知数について、二つの条件を同時に満たす値を連立方程式で求めます。
大人券をa円、子ども券をc円として2a＋3c=3900、3a＋2c=4100とします。
大人券2枚と子ども券3枚で3900円、大人券3枚と子ども券2枚で4100円です。大人券と子ども券の1枚の値段を求めなさい。
解答大人券900円、子ども券700円
確かめ2×900＋3×700=3900、3×900＋2×700=4100です。
変化の割合・切片・傾きを手掛かりに、式・表・グラフと現実の変化を結ぶ。
2点(2, 5)、(−1, −4)を通る直線の式を求め、x=4のときのyを求めなさい。
一次関数y=ax+bでは、aが傾き、bがy切片です。
傾きは{5−(−4)}÷{2−(−1)}です。
2点(2, 5)、(−1, −4)を通る直線の式を求め、x=4のときのyを求めなさい。
解答y=3x−1、x=4のときy=11
確かめx=−1を代入するとy=−4となり、もう一方の点も通ります。
角の関係と多角形の性質を根拠として使い、未知の角や条件を導く。
正十五角形の1つの外角と1つの内角の大きさを求めなさい。
凸多角形の外角の和は360°で、同じ頂点の内角と外角の和は180°です。
まず360÷15を計算します。
正十五角形の1つの外角と1つの内角の大きさを求めなさい。
解答外角24°、内角156°
確かめ外角24°を15個足すと360°になります。
仮定と結論を分け、合同条件と定義・定理を根拠に筋道立てて証明する。
△ABCと△DEFで、AB=DE、AC=DF、∠BAC=∠EDF=50°です。二つの三角形が合同であることを示し、BCとEFの関係を答えなさい。
二辺とその間の角がそれぞれ等しい二つの三角形は合同です。
ABとACの間の角は∠BACです。
△ABCと△DEFで、AB=DE、AC=DF、∠BAC=∠EDF=50°です。二つの三角形が合同であることを示し、BCとEFの関係を答えなさい。
解答△ABC≡△DEF、したがってBC=EF
確かめ合同条件の三要素の対応がAB↔DE、AC↔DF、A↔Dで一致しています。
二等辺三角形と平行四辺形の性質・判定を使い分け、図形の関係を証明する。
平行四辺形ABCDの対角線AC、BDの交点をOとします。AO=4.5cm、BO=3.2cmのとき、ACとBDの長さを求めなさい。
平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。
AC=2AO、BD=2BOです。
平行四辺形ABCDの対角線AC、BDの交点をOとします。AO=4.5cm、BO=3.2cmのとき、ACとBDの長さを求めなさい。
解答AC=9cm、BD=6.4cm
確かめAC、BDをそれぞれ半分にすると、与えられたAO=4.5cm、BO=3.2cmに戻ります。
四分位数と箱ひげ図を使い、複数集団の分布を根拠とともに比較する。
データ 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14 の第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数と四分位範囲を求めなさい。
四分位範囲は第3四分位数Q3と第1四分位数Q1の差Q3−Q1です。
下位は2,4,5,7、上位は8,10,12,14です。
データ 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14 の第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数と四分位範囲を求めなさい。
解答Q1=4.5、Q2=7.5、Q3=11、四分位範囲6.5
確かめQ1≤Q2≤Q3、すなわち4.5≤7.5≤11となっています。
起こり得る場合を漏れなく重なりなく整理し、同様に確からしい事象の確率を求める。
区別できる2個の公平なさいころを同時に投げます。出た目の和が8になる確率を求めなさい。
すべての結果が同様に確からしいとき、確率は該当する場合の数÷全場合の数です。
(2,6)から(6,2)までを順に挙げます。
区別できる2個の公平なさいころを同時に投げます。出た目の和が8になる確率を求めなさい。
解答5/36
確かめ5通りに重複はなく、5/36は0以上1以下です。
8単元 / 277テーマ
乗法公式を構造として見抜き、展開と因数分解を数や図形の性質へ活用する。
式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。
x²+(a+b)x+abは(x+a)(x+b)と因数分解できます。
積が−10、和が3になるのは5と−2です。
式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。
解答(x＋5)(x−2)、x=7のとき60
確かめ(x＋5)(x−2)を展開するとx²＋3x−10に戻ります。
平方根の意味・近似・根号計算を理解し、無理数を含む数量を正確に扱う。
√72−2√8＋√18 を簡単にしなさい。
根号部分が同じ項は同類の根号として、係数を加減できます。
√72=6√2、√8=2√2、√18=3√2です。
√72−2√8＋√18 を簡単にしなさい。
解答5√2
確かめ係数は6−4＋3=5で、根号内2には平方因数が残っていません。
平方根・因数分解・解の公式を式の形で選び、文章や図形の条件を解く。
二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。
AB=0ならばA=0またはB=0です。
左辺は(x−7)(x＋2)と因数分解できます。
二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。
解答x=7, −2
確かめ7²−5×7−14=0、(−2)²−5×(−2)−14=0です。
二乗に比例する変化を表・式・グラフで捉え、変域・変化率・図形の問題へ使う。
関数y=ax²のグラフが点(3,18)を通ります。aを求め、x=−4のときのyを求めなさい。
yがxの2乗に比例するとき、y=ax²と表し、aを比例定数といいます。
x=3、y=18を代入します。
関数y=ax²のグラフが点(3,18)を通ります。aを求め、x=−4のときのyを求めなさい。
解答a=2、y=32
確かめx=3でもy=2×9=18となり、与えられた点を通ります。
相似条件と比を根拠に、長さ・面積・体積・平行線の関係を解き証明する。
△ABCと△DEFは相似で、AB=6cmにDE=9cmが対応します。AC=10cmに対応するDFの長さを求めなさい。
相似な図形では、対応する辺の長さの比はすべて等しくなります。
拡大率は9÷6=3/2です。
△ABCと△DEFは相似で、AB=6cmにDE=9cmが対応します。AC=10cmに対応するDFの長さを求めなさい。
解答15cm
確かめAB:DE=6:9=2:3、AC:DF=10:15=2:3で一致します。
円周角と中心角の関係を使い、角度・等しい弧・接線・証明へつなぐ。
円Oで弧ABに対する中心角∠AOBが128°です。同じ弧ABに対する円周角∠ACBを求めなさい。
同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。
∠ACB=∠AOB÷2です。
円Oで弧ABに対する中心角∠AOBが128°です。同じ弧ABに対する円周角∠ACBを求めなさい。
解答64°
確かめ円周角64°の2倍は中心角128°です。
直角三角形を発見し、三平方の定理とその逆で平面・空間の長さを求める。
縦8cm、横15cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。
直角三角形で、斜辺cと他の二辺a,bにはc²=a²+b²が成り立ちます。
対角線をdとするとd²=8²＋15²です。
縦8cm、横15cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。
解答17cm
確かめ8²＋15²=64＋225=289=17²です。
全数調査と標本調査を使い分け、無作為抽出と標本比率から母集団を推測する。
1500人の集団から無作為に250人を選んだところ、180人が案Aを支持しました。集団全体で案Aを支持する人数を推定しなさい。
無作為抽出した標本の比率を用いて、母集団の比率や個数を推定できます。
180÷250=0.72です。
1500人の集団から無作為に250人を選んだところ、180人が案Aを支持しました。集団全体で案Aを支持する人数を推定しなさい。
解答約1080人
確かめ1080÷1500=0.72で、標本の支持割合と一致します。
5単元 / 219テーマ
式を見抜き、変形し、不等式で範囲を扱うための計算言語をつくる。
不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。
|A|≤k（k≥0）は−k≤A≤kと同値です。
まず−5≤2x−3≤5とします。
不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。
解答−1≤x≤4
確かめ端点x=−1,4では|2x−3|=5で、中央のx=0では3≤5です。
条件を集合で可視化し、必要十分・対偶・背理法を正確に使う。
整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。
命題とその対偶は真偽が一致します。
n=2k+1と置いたときのn²を調べます。
整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。
解答真。対偶『nが奇数ならn²は奇数』が成り立つため。
確かめ計算結果2(2k²+2k)+1は整数の2倍に1を足した形で、確かに奇数です。
グラフ・式・条件を往復し、場合分けを伴う最大最小と解の配置まで扱う。
関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
閉区間での二次関数の最大・最小は、頂点と区間の端点を調べて決めます。
f(x)=(x−2)²＋3です。
関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
解答最小値3（x=2）、最大値12（x=5）
確かめ区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
三角比を辺と角の翻訳装置として使い、平面・空間の長さと面積を求める。
三角形ABCで、AB=5cm、AC=7cm、∠A=60°です。辺BCの長さと三角形の面積を求めなさい。
余弦定理はa²=b²+c²−2bc cos A、面積はS=(1/2)bc sin Aです。
cos60°=1/2、sin60°=√3/2です。
三角形ABCで、AB=5cm、AC=7cm、∠A=60°です。辺BCの長さと三角形の面積を求めなさい。
解答BC=√39cm、面積35√3/4cm²
確かめ最大辺7について7<5+√39を満たし、面積も正です。
代表値・散らばり・相関を読み、データに基づく判断と検定の考え方へ進む。
データ 2, 4, 4, 6, 9 の平均値と分散（偏差の2乗の平均）を求めなさい。
分散は、各データの平均値からの偏差を2乗し、その平均を取った値です。
平均値は(2＋4＋4＋6＋9)÷5=5です。
データ 2, 4, 4, 6, 9 の平均値と分散（偏差の2乗の平均）を求めなさい。
解答平均値5、分散28/5（=5.6）
確かめ偏差−3,−1,−1,1,4の和は0になっています。
4単元 / 95テーマ
重なりなく数える原理を身につけ、条件付きの配列・選択・分割を分類する。
異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。
『〜でない』条件は、全体から条件に反する場合を引く余事象の数え方が有効です。
ABまたはBAを一つのかたまりとみなします。
異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。
解答72通り
確かめ隣り合う48通りと隣り合わない72通りの和は全体120通りです。
事象を正しく分け、条件付き・反復試行・期待値まで一貫した数え上げで解く。
袋に赤玉3個、青玉2個があります。袋をよく混ぜ、どの玉も同様に確からしく選ばれるものとします。玉を戻さずに2個続けて取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めなさい。
戻さずに取り出すと2回目の標本空間が変わるため、条件付き確率を掛けます。
1回目は3/5、赤を引いた後の2回目は2/4です。
袋に赤玉3個、青玉2個があります。袋をよく混ぜ、どの玉も同様に確からしく選ばれるものとします。玉を戻さずに2個続けて取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めなさい。
解答3/10
確かめ組合せでも赤2個の選び方3C2÷全2個の選び方5C2=3/10です。
三角形と円の定理を、条件から補助線を選ぶための解法辞書にする。
△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。
三角形の角の二等分線は、向かい側の辺を両隣の辺の比に内分します。
BD:DC=6:9=2:3です。
△ABCでAB=6cm、AC=9cm、BC=10cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めなさい。
解答BD=4cm、DC=6cm
確かめBD＋DC=4＋6=10cmでBCと一致し、4:6=2:3です。
整数・記数法・ゲームや生活の数学を、現行課程と旧課程資産の双方から整理する。
ユークリッドの互除法を使って、252と105の最大公約数を求めなさい。
aをbで割った余りをrとすると、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しいです。
252=105×2＋42から始めます。
ユークリッドの互除法を使って、252と105の最大公約数を求めなさい。
解答21
確かめ252÷21=12、105÷21=5で両方を割り切り、最後の除法の余りは0です。
6単元 / 140テーマ
高次式・複素数・方程式を、恒等式と証明を含む代数体系として扱う。
多項式P(x)=2x³−3x²＋4x−5をx−2で割った商と余りを求めなさい。
多項式P(x)をx−aで割った余りはP(a)です。
係数2,−3,4,−5を2で組立除法します。
多項式P(x)=2x³−3x²＋4x−5をx−2で割った商と余りを求めなさい。
解答商2x²＋x＋6、余り7
確かめ(x−2)(2x²＋x＋6)＋7=2x³−3x²＋4x−5です。
図形の条件を方程式へ翻訳し、軌跡・領域・最大最小まで座標で処理する。
円 x²＋y²−6x＋4y−3=0 の中心と半径を求めなさい。
円の標準形(x−a)²+(y−b)²=r²では、中心は(a,b)、半径はrです。
x²−6x=(x−3)²−9、y²＋4y=(y＋2)²−4です。
円 x²＋y²−6x＋4y−3=0 の中心と半径を求めなさい。
解答中心(3, −2)、半径4
確かめ中心から右へ4の点(7,−2)を元の式へ代入すると0になります。
単位円・グラフ・公式を往復し、方程式・不等式・合成を判断できるようにする。
0≤x<2πの範囲で、方程式2sin x=1を解きなさい。
sin xは単位円上の点のy座標で、第1・第2象限で正です。
基準角はπ/6です。
0≤x<2πの範囲で、方程式2sin x=1を解きなさい。
解答x=π/6, 5π/6
確かめどちらもsin x=1/2なので2sin x=1を満たし、指定範囲内です。
底の条件と単調性を軸に、指数・対数の式とグラフを一つの体系で扱う。
方程式 log₂(x−1)+log₂(x−3)=3 を解きなさい。
logₐM+logₐN=logₐ(MN)で、対数の真数は正でなければなりません。
真数条件はx>3です。
方程式 log₂(x−1)+log₂(x−3)=3 を解きなさい。
解答x=5
確かめx=5ならlog₂4＋log₂2=2＋1=3で、真数も正です。
変化率から導関数へ進み、接線・増減・実数解・不等式をグラフで統一する。
関数f(x)=x³−3x²−9x＋5の極大値と極小値、およびそのときのxを求めなさい。
導関数の符号が正から負へ変わる点で極大、負から正へ変わる点で極小になります。
f'(x)=3(x−3)(x＋1)です。
関数f(x)=x³−3x²−9x＋5の極大値と極小値、およびそのときのxを求めなさい。
解答極大値10（x=−1）、極小値−22（x=3）
確かめf'(-2)>0、f'(0)<0、f'(4)>0で符号変化が判定と一致します。
原始関数と面積を結び、絶対値・交点・パラメータを含む定積分を解く。
0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。
二曲線f(x)≥g(x)で囲まれる面積は∫{f(x)−g(x)}dxです。
0≤x≤1ではx≥x²です。
0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。
解答1/6
確かめ被積分関数x−x²=x(1−x)は区間内で0以上なので、面積は正です。
3単元 / 85テーマ
一般項・和・漸化式・帰納法を、どの型へ変形するかの判断から整理する。
初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。
等差数列の和はSₙ=n(a₁+aₙ)/2です。
a₂₀=5＋19×3です。
初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。
解答第20項62、和670
確かめ和を20/2×(初項＋末項)=10×67と計算しても670です。
確率分布から標本・推定・検定まで、共通テストで読める統計的思考をつくる。
確率変数Xが二項分布B(50, 0.3)に従うとき、Xの期待値、分散、標準偏差を求めなさい。
X∼B(n,p)なら、E(X)=np、V(X)=np(1−p)、標準偏差は√V(X)です。
n=50、p=0.3、1−p=0.7です。
確率変数Xが二項分布B(50, 0.3)に従うとき、Xの期待値、分散、標準偏差を求めなさい。
解答期待値15、分散10.5、標準偏差√10.5（約3.24）
確かめ分散はnp(1−p)=15×0.7=10.5で、標準偏差の2乗は10.5です。
散布図・回帰・モデル化・シミュレーションを用いて、現実の問題を数学化する。
ある商品の直近5か月の販売数が順に100, 120, 110, 130, 140個でした。『次月の予測値を直近3か月の単純移動平均とする』とき、次月の販売数の予測値を小数第1位まで求めなさい。
単純移動平均は、定めた期間の観測値を同じ重みで平均し、短期的な変動をならす方法です。
(110＋130＋140)÷3を計算します。
ある商品の直近5か月の販売数が順に100, 120, 110, 130, 140個でした。『次月の予測値を直近3か月の単純移動平均とする』とき、次月の販売数の予測値を小数第1位まで求めなさい。
解答約126.7個
確かめ予測値126.7は直近3値の最小110と最大140の間にあります。
5単元 / 105テーマ
図形の関係を向きと成分で表し、内積・位置ベクトル・方程式へつなぐ。
平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。
成分表示でa・b=a₁b₁+a₂b₂、またa・b=|a||b|cosθです。
|a|=√5、|b|=√10です。
平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。
解答a・b=−1、cosθ=−√2/10
確かめcosθは負で、内積も負なので、なす角が鈍角という符号関係が一致します。
空間座標を成分で扱い、直線・平面・球・四面体の位置関係を解く。
空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。
空間の2点間距離は√{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²}です。
座標の差は(3,−4,6)です。
空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。
解答√61
確かめ√61を2乗すると、三方向の差の2乗和61に戻ります。
複素数の演算を回転・拡大と結び、図形条件と軌跡を複素数で表す。
複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。
z=r(cosθ+i sinθ)なら、zⁿ=rⁿ{cos(nθ)+i sin(nθ)}です。
|z|=2、arg z=π/3です。
複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。
解答z=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}、z⁶=64
確かめ(1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。
二次曲線を焦点・準線・方程式で理解し、媒介変数と極座標へ広げる。
楕円 x²/25＋y²/9=1 の焦点の座標と長軸の長さを求めなさい。
楕円x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）の焦点は(±c,0)、c²=a²−b²です。
a=5、b=3なのでc²=25−9です。
楕円 x²/25＋y²/9=1 の焦点の座標と長軸の長さを求めなさい。
解答焦点(4,0), (−4,0)、長軸の長さ10
確かめ焦点距離4は長半径5より小さく、c²+b²=16＋9=25=a²です。
図・表・行列的表現・離散グラフなど、問題に合う表現を選んで考察する。
和1＋2＋3＋…＋100を、最初と最後を組にする表現の工夫を使って求めなさい。
等差数列では、初項と末項、2項目と末項の一つ前のように組むと、各組の和が一定になります。
1＋100、2＋99はいずれも101です。
和1＋2＋3＋…＋100を、最初と最後を組にする表現の工夫を使って求めなさい。
解答5050
確かめ等差数列の和100(1＋100)/2でも5050です。
5単元 / 101テーマ
数列と関数の極限を統一し、連続性・無限級数・各種関数の極限へ進む。
極限 lim[x→0] sin(3x)/x を求めなさい。ただし角はラジアンとします。
ラジアンではlim[t→0] sin t/t=1が成り立ちます。
sin(3x)/x=3・sin(3x)/(3x)です。
極限 lim[x→0] sin(3x)/x を求めなさい。ただし角はラジアンとします。
解答3
確かめxを十分小さくするとsin(3x)≈3xなので、比は3に近づきます。
多様な関数の微分法を身につけ、陰関数・媒介変数・高次導関数まで扱う。
関数f(x)=x²eˣについて、x=1における接線の方程式を求めなさい。
積の微分は(uv)'=u'v+uv'、x=aでの接線はy−f(a)=f'(a)(x−a)です。
f'(x)=eˣ(x²＋2x)です。
関数f(x)=x²eˣについて、x=1における接線の方程式を求めなさい。
解答y=3ex−2e
確かめx=1を代入するとy=eで接点(1,e)を通り、傾きは3eです。
増減・凹凸・平均値の定理を使い、グラフ・実根・速度を精密に分析する。
x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。
閉じていない区間で最大値を調べるときは、臨界点だけでなく端点と無限遠の極限も比較します。
f'(x)=e⁻ˣ(1−x)です。
x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。
解答x=1のとき最大値1/e
確かめ導関数はx=1の前で正、後で負となり、両端側の値0より1/eが大きいです。
置換・部分積分を選択し、三角・指数・対数・有理・無理関数を積分する。
定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。
置換積分ではu=g(x)と置き、du=g'(x)dxに合わせて被積分式と区間を変換します。
u=x²とするとdu=2x dxです。
定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。
解答(e−1)/2
確かめ原始関数(1/2)e^(x²)を微分するとx e^(x²)に戻ります。
面積・体積・曲線長・移動距離を、交点と符号を管理して積分で求める。
0≤x≤4で曲線y=√xとx軸に囲まれる部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めなさい。
y=f(x)とx軸の間をx軸回転した体積はV=π∫{f(x)}²dxです。
(√x)²=xです。
0≤x≤4で曲線y=√xとx軸に囲まれる部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めなさい。
解答8π
確かめ断面積πxは区間内で0以上で、積分値8πも正です。
検索・ルート・公式のどこから入っても、次の行動が分かる4段階です。
公式・用語・判断の合図を短時間で確認。
「なぜ？」と数値例で、丸暗記をほどく。
例題と段階別の確認課題で、理解を確かめる。
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