30秒でわかる答え
おうぎ形は円全体の『中心角/360°』だけを切り取った図形です。弧の長さも面積も、円周・円の面積に同じ割合を掛けて求めます。
なぜそうなる？
なぜ、弧の長さと面積に同じ 角度/360° を掛けるの？
半径が同じ円では、中心角が2倍なら切り取る周の長さも面積も2倍になります。円全体360°のうち中心角が何割かを考えると、弧の長さと面積の両方に同じ割合を使えます。
ここだけは押さえる4点
- 01
弧の長さ=2πr×中心角/360°。
- 02
面積=πr²×中心角/360°。
- 03
半径と直径、弧とおうぎ形の周を混同しない。式に使う角は、頂点が円の中心にある角。
- 04
答えから割合を逆算するときは、円全体との比を作る。
動かして、関係を確かめる
値や手順を自分で変え、説明と結果が同時にどう動くか確認してください。
中心角を2倍にすると、弧の長さも面積も2倍になります。
考え方がつながる例題3問
弧の長さ
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント円周12πcmのうち120/360です。
- 円周2πr=12π
- 割合120/360=1/3
- 12π×1/3
答え4πcm
確かめ半円の弧6πcmより短いので妥当です。
おうぎ形の面積
同じおうぎ形の面積を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント円の面積36πcm²の1/3です。
- πr²=36π
- 120/360=1/3
- 36π×1/3
答え12πcm²
確かめ単位は長さではなくcm²です。
弧から中心角
半径9cm、弧の長さ3πcmのおうぎ形の中心角を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント3π÷18πで円周に対する割合を求めます。
- 円周は18πcm
- 割合は3π/18π=1/6
- 360°×1/6
答え60°
確かめ中心角は360°より小さく、弧は円周の1/6です。
基礎→標準→発展の3段階演習
半径3cm、中心角180°の弧の長さを求めなさい。
答えと解説
円周6πの半分です。
半径8cm、中心角45°の面積を求めなさい。
答えと解説
64π×45/360=8π。
中心角90°、面積25πcm²のおうぎ形の半径を求めなさい。
答えと解説
πr²×1/4=25π よりr²=100。長さなのでr=10。
間違いを、理由から直す
図の見た目で等しいと決める
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「仮定を図へ書き込み既知量を探す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「長さ・角・面積・位置関係と根拠」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
360で割るのを忘れないコツは？
『円全体の何個分か』と日本語で書いてから、中心角/360°を作ります。
πは3.14に直す？
指定がなければπのまま答えるのが一般的です。近似値を求める指示があるときだけ3.14などを使います。
弧の長さと周の長さは同じ？
弧は曲線部分だけです。おうぎ形の周は、弧の長さに半径2本を足します。
自分で確かめる探究ミニ課題
同じ半径で角度だけを変える
同じ半径のおうぎ形を30°・60°・120°で作り、弧の長さと面積が中心角に比例するか確かめましょう。
- 円全体に対する角度の割合を求める
- 弧と面積を表にする
- 角度を2倍にしたとき、二つの量がどう変わるか説明する