30秒でわかる答え
円錐の側面を開くと、母線を半径とするおうぎ形になります。おうぎ形の弧は底面の円周と同じ長さです。この対応から中心角を求め、側面積πrlと底面積πr²を足します。
なぜそうなる？
なぜ、円錐の側面積は π×底面の半径×母線 になるの？
底面の半径をr、母線をlとします。展開したおうぎ形の半径はl、弧の長さは底面の円周2πrです。おうぎ形の面積は『半径×弧の長さ÷2』でも求められるので、l×2πr÷2=πrlになります。公式は展開図のつながりを短く表したものです。
ここだけは押さえる4点
- 01
展開図のおうぎ形の半径は、円錐の高さではなく母線l。
- 02
おうぎ形の弧の長さ=底面の円周2πr。
- 03
側面積=πrl。表面積は、側面積に底面積πr²を足す。
- 04
中心角=360°×底面の半径r÷母線l。通常の円錐ではr<lなので中心角は360°未満になる。
動かして、関係を確かめる
値や手順を自分で変え、説明と結果が同時にどう動くか確認してください。
側面積は24πcm²、底面を足した表面積は33πcm²です。
考え方がつながる例題3問
3・4・5の円錐
底面の半径3cm、高さ4cm、母線5cmの円錐の表面積を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント側面と底面を分けます。
- 側面積はπ×3×5=15π
- 底面積はπ×3²=9π
- 15π+9πを計算する
答え24πcm²
確かめ高さ4cmは体積には使いますが、側面積には母線5cmを使います。
展開図の角度
底面の半径3cm、母線8cmの円錐を展開します。側面のおうぎ形の中心角を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント弧6πcmは、半径8cmの円周16πcmの何割かを考えます。
- 底面の円周は2π×3=6π
- 半径8の円周は16π
- 360°×6π/16π
答え135°
確かめ公式360°×r/lでも、360°×3/8=135°です。
中心角から底面を戻す
母線6cm、展開図のおうぎ形の中心角150°である円錐の底面半径を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントおうぎ形の弧を求め、それを底面の円周とします。
- 弧は2π×6×150/360=5π
- 2πr=5π
- 両辺を2πで割る
答え2.5cm
確かめ底面半径は母線6cmより小さいので、立体として矛盾しません。
基礎→標準→発展の3段階演習
底面半径4cm、母線7cmの円錐の側面積と表面積を求めなさい。
答えと解説
π×4×7=28πに、底面積16πを足します。
底面半径2cm、母線6cmの円錐の展開図で、おうぎ形の中心角を求めなさい。
答えと解説
360°×2/6=120°です。
底面半径5cm、高さ12cm、母線13cmの円錐の表面積と体積を求めなさい。
答えと解説
表面積はπ×5×13+25π。体積は1/3×25π×12です。
間違いを、理由から直す
図の見た目で等しいと決める
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「仮定を図へ書き込み既知量を探す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「長さ・角・面積・位置関係と根拠」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
高さと母線はどう見分ける？
高さは頂点から底面へ垂直に下ろした立体内部の長さ、母線は頂点から底面円周へ沿う側面上の長さです。
表面積に底面を足すのを忘れないコツは？
展開図を『おうぎ形1枚＋円1枚』と数えてから式を立てます。
中心角の公式を忘れたら？
『おうぎ形の弧=底面の円周』へ戻り、円周どうしの割合から360°を掛けます。
自分で確かめる探究ミニ課題
円錐の展開図を実際に閉じる
同じ母線で中心角を変えたおうぎ形を丸めると、底面半径と高さはどう変わるでしょうか。
- 厚紙で母線10cm、中心角90°・180°のおうぎ形を作る
- 丸めて底面円周と半径を測る
- 弧が長いほど底面半径がどう変わるか、式と実物で説明する