30秒でわかる答え
二次関数で「パラメータ入り二次不等式」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。 最初の一手は「平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く」。答えを出したら、「頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
パラメータ入り二次不等式では、なぜこの手順から始めるの？
左右に同じ操作をするのは、つり合いを保ったまま未知数だけを取り出すためです。途中式ごとに同値性と条件を守ることで、余分な解や解の落としを防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
二次関数で「パラメータ入り二次不等式」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。
- 02
最初にすること：平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く。
- 03
目標：条件を満たす解・範囲・個数まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
二次関数の入口問題
関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントf(x)=(x−2)²＋3です。
- f(x)=(x−2)²＋3より頂点は(2,3)。
- x=2は区間内なので最小値は3。
- f(1)=4、f(5)=12を比較し、最大値は12。
答え最小値3（x=2）、最大値12（x=5）
確かめ区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 この問題で使った「パラメータ入り二次不等式」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 平方完成して頂点を求める。
- 頂点が定義域内か確認する。
- 頂点と両端の値を比較する。
答え閉区間での二次関数の最大・最小は、頂点と区間の端点を調べて決めます。
確かめ定義と最初の一手「平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く
- x=2は区間内なので最小値は3。
- f(1)=4、f(5)=12を比較し、最大値は12。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え最小値3（x=2）、最大値12（x=5）
確かめ区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
答えと解説
f(x)=(x−2)²＋3です。 区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
【同じ問題を説明する】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
閉区間での二次関数の最大・最小は、頂点と区間の端点を調べて決めます。
【同じ問題を検算する】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 「パラメータ入り二次不等式」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件を満たす解・範囲・個数」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
パラメータ入り二次不等式は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「平方完成し、軸・頂点・定義域を同時に書く」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「パラメータ入り二次不等式」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「頂点だけで最大最小を決めて端点を落とす」を避けて理由まで説明できれば合格です。