30秒でわかる答え
最大値・最小値そのものをパラメータの関数として再評価する型。 最初の一手は「場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする」。答えを出したら、「内側と外側の最適化を一度に処理する」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
最大値が一定となる条件では、なぜこの手順から始めるの？
表・式・グラフは、同じ二つの数量の関係を別の見方で表したものです。三つを往復すると、計算だけでは見落とす変化や範囲を確かめられます。
ここだけは押さえる4点
- 01
最大値・最小値そのものをパラメータの関数として再評価する型。
- 02
最初にすること：場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする。
- 03
目標：最適なパラメータと極値まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「内側と外側の最適化を一度に処理する」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
二次関数の入口問題
関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントf(x)=(x−2)²＋3です。
- f(x)=(x−2)²＋3より頂点は(2,3)。
- x=2は区間内なので最小値は3。
- f(1)=4、f(5)=12を比較し、最大値は12。
答え最小値3（x=2）、最大値12（x=5）
確かめ区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 この問題で使った「最大値が一定となる条件」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 平方完成して頂点を求める。
- 頂点が定義域内か確認する。
- 頂点と両端の値を比較する。
答え閉区間での二次関数の最大・最小は、頂点と区間の端点を調べて決めます。
確かめ定義と最初の一手「場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「内側と外側の最適化を一度に処理する」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする
- x=2は区間内なので最小値は3。
- f(1)=4、f(5)=12を比較し、最大値は12。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え最小値3（x=2）、最大値12（x=5）
確かめ区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。
答えと解説
f(x)=(x−2)²＋3です。 区間内では(x−2)²が0以上9以下なので、f(x)は3以上12以下です。
【同じ問題を説明する】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
閉区間での二次関数の最大・最小は、頂点と区間の端点を調べて決めます。
【同じ問題を検算する】関数f(x)=x²−4x＋7について、1≤x≤5での最大値と最小値、およびそのときのxを求めなさい。 「最大値が一定となる条件」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「内側と外側の最適化を一度に処理する」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
内側と外側の最適化を一度に処理する
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「最適なパラメータと極値」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
最大値が一定となる条件は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「場合分け後の最大値・最小値をパラメータの式にする」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「最大値が一定となる条件」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「内側と外側の最適化を一度に処理する」を避けて理由まで説明できれば合格です。