30秒でわかる答え
集合と命題で「不等式で表された集合」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。 最初の一手は「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」。答えを出したら、「同値でない変形と不適解」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
不等式で表された集合では、なぜこの手順から始めるの？
左右に同じ操作をするのは、つり合いを保ったまま未知数だけを取り出すためです。途中式ごとに同値性と条件を守ることで、余分な解や解の落としを防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
集合と命題で「不等式で表された集合」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。
- 02
最初にすること：定義域と係数条件を書き標準形へ直す。
- 03
目標：条件を満たす解・範囲・個数まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「同値でない変形と不適解」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
集合と命題の入口問題
整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントn=2k+1と置いたときのn²を調べます。
- 対偶は『nが奇数ならばn²は奇数である』。
- nが奇数なので、ある整数kを用いてn=2k+1と表せる。
- n²=2(2k²+2k)+1であり、2k²+2kは整数だからn²は奇数。よって対偶、したがって元の命題は真。
答え真。対偶『nが奇数ならn²は奇数』が成り立つため。
確かめ計算結果2(2k²+2k)+1は整数の2倍に1を足した形で、確かに奇数です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。 この問題で使った「不等式で表された集合」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 命題の仮定と結論を分ける。
- 対偶『nが奇数ならn²は奇数』を作る。
- 奇数を2k+1と表して計算する。
答え命題とその対偶は真偽が一致します。
確かめ定義と最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「同値でない変形と不適解」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 定義域と係数条件を書き標準形へ直す
- nが奇数なので、ある整数kを用いてn=2k+1と表せる。
- n²=2(2k²+2k)+1であり、2k²+2kは整数だからn²は奇数。よって対偶、したがって元の命題は真。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え真。対偶『nが奇数ならn²は奇数』が成り立つため。
確かめ計算結果2(2k²+2k)+1は整数の2倍に1を足した形で、確かに奇数です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。
答えと解説
n=2k+1と置いたときのn²を調べます。 計算結果2(2k²+2k)+1は整数の2倍に1を足した形で、確かに奇数です。
【同じ問題を説明する】整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
命題とその対偶は真偽が一致します。
【同じ問題を検算する】整数nについて命題『n²が偶数ならばnは偶数である』の真偽を、対偶を用いて示しなさい。 「不等式で表された集合」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「同値でない変形と不適解」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
同値でない変形と不適解
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件を満たす解・範囲・個数」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
不等式で表された集合は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「不等式で表された集合」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「同値でない変形と不適解」を避けて理由まで説明できれば合格です。