30秒でわかる答え
絶対値の中が0になる境界で式の形が変わる型。 最初の一手は「絶対値の中が0になる点を数直線に置く」。答えを出したら、「境界の等号と場合の重なり」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
絶対値付き定積分では、なぜこの手順から始めるの？
計算の手順には、式が表す値を変えずに見やすい形へ直す役割があります。形を先に見抜くと、符号やかっこのミスを減らし、逆算でも確かめられます。
ここだけは押さえる4点
- 01
絶対値の中が0になる境界で式の形が変わる型。
- 02
最初にすること：絶対値の中が0になる点を数直線に置く。
- 03
目標：場合ごとの式・解・グラフまで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「境界の等号と場合の重なり」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
積分法の入口問題
0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント0≤x≤1ではx≥x²です。
- 面積S=∫₀¹(x−x²)dx。
- S=[x²/2−x³/3]₀¹。
- S=1/2−1/3=1/6。
答え1/6
確かめ被積分関数x−x²=x(1−x)は区間内で0以上なので、面積は正です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。 この問題で使った「絶対値付き定積分」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 区間内でどちらのグラフが上か確認する。
- 上の関数−下の関数を積分する。
- 面積が正になることを確かめる。
答え二曲線f(x)≥g(x)で囲まれる面積は∫{f(x)−g(x)}dxです。
確かめ定義と最初の一手「絶対値の中が0になる点を数直線に置く」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「境界の等号と場合の重なり」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 絶対値の中が0になる点を数直線に置く
- S=[x²/2−x³/3]₀¹。
- S=1/2−1/3=1/6。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え1/6
確かめ被積分関数x−x²=x(1−x)は区間内で0以上なので、面積は正です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。
答えと解説
0≤x≤1ではx≥x²です。 被積分関数x−x²=x(1−x)は区間内で0以上なので、面積は正です。
【同じ問題を説明する】0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
二曲線f(x)≥g(x)で囲まれる面積は∫{f(x)−g(x)}dxです。
【同じ問題を検算する】0≤x≤1で、曲線y=xとy=x²で囲まれる部分の面積を求めなさい。 「絶対値付き定積分」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「境界の等号と場合の重なり」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
境界の等号と場合の重なり
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「絶対値の中が0になる点を数直線に置く」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「場合ごとの式・解・グラフ」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
絶対値付き定積分は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「絶対値の中が0になる点を数直線に置く」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「絶対値付き定積分」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「境界の等号と場合の重なり」を避けて理由まで説明できれば合格です。