30秒でわかる答え
積分法で「定積分と不等式」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。 最初の一手は「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」。答えを出したら、「同値でない変形と不適解」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
定積分と不等式では、なぜこの手順から始めるの？
左右に同じ操作をするのは、つり合いを保ったまま未知数だけを取り出すためです。途中式ごとに同値性と条件を守ることで、余分な解や解の落としを防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
積分法で「定積分と不等式」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。
- 02
最初にすること：定義域と係数条件を書き標準形へ直す。
- 03
目標：条件を満たす解・範囲・個数まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「同値でない変形と不適解」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
積分法の入口問題
定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントu=x²とするとdu=2x dxです。
- u=x²、du=2x dxよりx dx=du/2。
- x=0,1はu=0,1に対応するので、積分は(1/2)∫₀¹eᵘdu。
- (1/2)[eᵘ]₀¹=(e−1)/2。
答え(e−1)/2
確かめ原始関数(1/2)e^(x²)を微分するとx e^(x²)に戻ります。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。 この問題で使った「定積分と不等式」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 指数部分x²の微分が2xであることを見る。
- u=x²と置換する。
- 積分区間もuの値へ変える。
答え置換積分ではu=g(x)と置き、du=g'(x)dxに合わせて被積分式と区間を変換します。
確かめ定義と最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「同値でない変形と不適解」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 定義域と係数条件を書き標準形へ直す
- x=0,1はu=0,1に対応するので、積分は(1/2)∫₀¹eᵘdu。
- (1/2)[eᵘ]₀¹=(e−1)/2。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え(e−1)/2
確かめ原始関数(1/2)e^(x²)を微分するとx e^(x²)に戻ります。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。
答えと解説
u=x²とするとdu=2x dxです。 原始関数(1/2)e^(x²)を微分するとx e^(x²)に戻ります。
【同じ問題を説明する】定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
置換積分ではu=g(x)と置き、du=g'(x)dxに合わせて被積分式と区間を変換します。
【同じ問題を検算する】定積分 ∫₀¹ x e^(x²) dx を求めなさい。 「定積分と不等式」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「同値でない変形と不適解」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
同値でない変形と不適解
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件を満たす解・範囲・個数」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
定積分と不等式は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「定積分と不等式」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「同値でない変形と不適解」を避けて理由まで説明できれば合格です。