30秒でわかる答え
微分法の応用で「不等式の証明」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。 最初の一手は「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」。答えを出したら、「同値でない変形と不適解」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
不等式の証明では、なぜこの手順から始めるの？
左右に同じ操作をするのは、つり合いを保ったまま未知数だけを取り出すためです。途中式ごとに同値性と条件を守ることで、余分な解や解の落としを防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
微分法の応用で「不等式の証明」が問われ、未知量の値・範囲・解の個数を、同値変形と条件管理で決める型。
- 02
最初にすること：定義域と係数条件を書き標準形へ直す。
- 03
目標：条件を満たす解・範囲・個数まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「同値でない変形と不適解」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
微分法の応用の入口問題
x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントf'(x)=e⁻ˣ(1−x)です。
- f'(x)=e⁻ˣ(1−x)で、e⁻ˣ>0。
- 0≤x<1で増加、x>1で減少する。
- f(0)=0、lim[x→∞]f(x)=0より、x=1で最大値1/e。
答えx=1のとき最大値1/e
確かめ導関数はx=1の前で正、後で負となり、両端側の値0より1/eが大きいです。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。 この問題で使った「不等式の証明」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 積の微分法でf'(x)を求める。
- 導関数の符号から増減を調べる。
- 端点と無限遠での値も確認する。
答え閉じていない区間で最大値を調べるときは、臨界点だけでなく端点と無限遠の極限も比較します。
確かめ定義と最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「同値でない変形と不適解」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 定義域と係数条件を書き標準形へ直す
- 0≤x<1で増加、x>1で減少する。
- f(0)=0、lim[x→∞]f(x)=0より、x=1で最大値1/e。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答えx=1のとき最大値1/e
確かめ導関数はx=1の前で正、後で負となり、両端側の値0より1/eが大きいです。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。
答えと解説
f'(x)=e⁻ˣ(1−x)です。 導関数はx=1の前で正、後で負となり、両端側の値0より1/eが大きいです。
【同じ問題を説明する】x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
閉じていない区間で最大値を調べるときは、臨界点だけでなく端点と無限遠の極限も比較します。
【同じ問題を検算する】x≥0で定義された関数f(x)=xe⁻ˣの最大値と、そのときのxを求めなさい。 「不等式の証明」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「同値でない変形と不適解」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
同値でない変形と不適解
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件を満たす解・範囲・個数」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
不等式の証明は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「定義域と係数条件を書き標準形へ直す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「不等式の証明」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「同値でない変形と不適解」を避けて理由まで説明できれば合格です。