30秒でわかる答え
場合の数で「組合せnCr」が問われ、一つの結果の区別方法を決め、漏れ・重複なく全体と事象を数える型。 最初の一手は「区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める」。答えを出したら、「標本空間の分母と重複」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
組合せnCrでは、なぜこの手順から始めるの？
確率の分母と分子は、同じ基準で区別した結果を数える必要があります。最初に標本空間を決めると、漏れと重複を同時に防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
場合の数で「組合せnCr」が問われ、一つの結果の区別方法を決め、漏れ・重複なく全体と事象を数える型。
- 02
最初にすること：区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める。
- 03
目標：場合の数、確率、期待される値まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「標本空間の分母と重複」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
場合の数の入口問題
異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。
ヒント・解説を見る
ヒントABまたはBAを一つのかたまりとみなします。
- 全順列は5!=120通り。
- 隣り合う並べ方は、かたまりとC,D,Eの4!通りにABの順2通りを掛け、2×4!=48通り。
- 120−48=72通り。
答え72通り
確かめ隣り合う48通りと隣り合わない72通りの和は全体120通りです。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。 この問題で使った「組合せnCr」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 条件なしの全順列を数える。
- AとBが隣り合う場合を一つのかたまりとして数える。
- 全体から隣り合う場合を引く。
答え『〜でない』条件は、全体から条件に反する場合を引く余事象の数え方が有効です。
確かめ定義と最初の一手「区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「標本空間の分母と重複」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める
- 隣り合う並べ方は、かたまりとC,D,Eの4!通りにABの順2通りを掛け、2×4!=48通り。
- 120−48=72通り。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え72通り
確かめ隣り合う48通りと隣り合わない72通りの和は全体120通りです。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。
答えと解説
ABまたはBAを一つのかたまりとみなします。 隣り合う48通りと隣り合わない72通りの和は全体120通りです。
【同じ問題を説明する】異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
『〜でない』条件は、全体から条件に反する場合を引く余事象の数え方が有効です。
【同じ問題を検算する】異なる5文字A,B,C,D,Eを1列に並べます。AとBが隣り合わない並べ方は何通りですか。 「組合せnCr」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「標本空間の分母と重複」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
標本空間の分母と重複
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「場合の数、確率、期待される値」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
組合せnCrは何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「区別・順序・重複と同様に確からしい結果を決める」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「組合せnCr」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「標本空間の分母と重複」を避けて理由まで説明できれば合格です。