30秒でわかる答え
数列で「整除性の証明」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。 最初の一手は「初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる」。答えを出したら、「添字の開始位置と初項のずれ」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
整除性の証明では、なぜこの手順から始めるの？
一つの例が成り立っても、すべての場合の証明にはなりません。仮定と結論、必要と十分を分け、反例がないところまで確認して初めて結論が確定します。
ここだけは押さえる4点
- 01
数列で「整除性の証明」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。
- 02
最初にすること：初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる。
- 03
目標：条件範囲、証明、反例、存在の結論まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「添字の開始位置と初項のずれ」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
数列の入口問題
初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントa₂₀=5＋19×3です。
- a₂₀=5＋(20−1)×3=62。
- S₂₀=20(5＋62)/2。
- S₂₀=10×67=670。
答え第20項62、和670
確かめ和を20/2×(初項＋末項)=10×67と計算しても670です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。 この問題で使った「整除性の証明」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 一般項aₙ=a₁+(n−1)dを使う。
- 第20項を求める。
- 等差数列の和を初項と末項から計算する。
答え等差数列の和はSₙ=n(a₁+aₙ)/2です。
確かめ定義と最初の一手「初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「添字の開始位置と初項のずれ」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる
- S₂₀=20(5＋62)/2。
- S₂₀=10×67=670。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え第20項62、和670
確かめ和を20/2×(初項＋末項)=10×67と計算しても670です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。
答えと解説
a₂₀=5＋19×3です。 和を20/2×(初項＋末項)=10×67と計算しても670です。
【同じ問題を説明する】初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
等差数列の和はSₙ=n(a₁+aₙ)/2です。
【同じ問題を検算する】初項5、公差3の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めなさい。 「整除性の証明」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「添字の開始位置と初項のずれ」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
添字の開始位置と初項のずれ
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件範囲、証明、反例、存在の結論」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
整除性の証明は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「初項から数項を書き、差・比・前項との関係を調べる」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「整除性の証明」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「添字の開始位置と初項のずれ」を避けて理由まで説明できれば合格です。