30秒でわかる答え
複素数平面で「複素数と三角形」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。 最初の一手は「絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す」。答えを出したら、「偏角の周期と共役・逆数の向き」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
複素数と三角形では、なぜこの手順から始めるの？
図は少しゆがんで描かれることがありますが、定義や定理で保証された性質は変わりません。見た目ではなく根拠をつなぐことで、どんな図でも同じ方法が使えます。
ここだけは押さえる4点
- 01
複素数平面で「複素数と三角形」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。
- 02
最初にすること：絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す。
- 03
目標：長さ・角・面積・位置関係と根拠まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「偏角の周期と共役・逆数の向き」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
複素数平面の入口問題
複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。
ヒント・解説を見る
ヒント|z|=2、arg z=π/3です。
- |z|=√(1²+(√3)²)=2、偏角はπ/3。
- z=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}。
- z⁶=2⁶{cos2π+i sin2π}=64。
答えz=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}、z⁶=64
確かめ(1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。 この問題で使った「複素数と三角形」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 実部と虚部から絶対値を求める。
- 第1象限でtanθ=√3となる偏角を選ぶ。
- ド・モアブルの定理で6乗する。
答えz=r(cosθ+i sinθ)なら、zⁿ=rⁿ{cos(nθ)+i sin(nθ)}です。
確かめ定義と最初の一手「絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「偏角の周期と共役・逆数の向き」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す
- z=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}。
- z⁶=2⁶{cos2π+i sin2π}=64。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答えz=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}、z⁶=64
確かめ(1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。
答えと解説
|z|=2、arg z=π/3です。 (1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。
【同じ問題を説明する】複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
z=r(cosθ+i sinθ)なら、zⁿ=rⁿ{cos(nθ)+i sin(nθ)}です。
【同じ問題を検算する】複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。 「複素数と三角形」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「偏角の周期と共役・逆数の向き」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
偏角の周期と共役・逆数の向き
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「長さ・角・面積・位置関係と根拠」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
複素数と三角形は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「絶対値と偏角に分け、必要なら極形式へ直す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「複素数と三角形」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「偏角の周期と共役・逆数の向き」を避けて理由まで説明できれば合格です。