まず、この問題から。問題文複素数z=1＋√3 iを極形式で表し、z⁶を求めなさい。ただし偏角は0≤arg z<2πとします。

ヒント|z|=2、arg z=π/3です。

1. |z|=√(1²+(√3)²)=2、偏角はπ/3。
2. z=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}。
3. z⁶=2⁶{cos2π+i sin2π}=64。

答えz=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}、z⁶=64

確かめ(1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。

ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。

1. 実部と虚部から絶対値を求める。
2. 第1象限でtanθ=√3となる偏角を選ぶ。
3. ド・モアブルの定理で6乗する。

答えz=r(cosθ+i sinθ)なら、zⁿ=rⁿ{cos(nθ)+i sin(nθ)}です。

確かめ定義と最初の一手「z=r(cosθ+i sinθ)へ直す」がつながっているか確認します。

ヒント「偏角の2π周期とn個の解の漏れ」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。

1. z=r(cosθ+i sinθ)へ直す
2. z=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}。
3. z⁶=2⁶{cos2π+i sin2π}=64。
4. 答えを問題文の条件へ戻す

答えz=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}、z⁶=64

確かめ(1＋√3 i)²=−2＋2√3 i、これを3乗しても64になります。