30秒でわかる答え
平面ベクトルで「ベクトル等式の係数比較」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。 最初の一手は「基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す」。答えを出したら、「位置ベクトルの始点と係数和の条件」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
ベクトル等式の係数比較では、なぜこの手順から始めるの？
図は少しゆがんで描かれることがありますが、定義や定理で保証された性質は変わりません。見た目ではなく根拠をつなぐことで、どんな図でも同じ方法が使えます。
ここだけは押さえる4点
- 01
平面ベクトルで「ベクトル等式の係数比較」が問われ、図形条件を定理・座標・ベクトルのどれで表すか選ぶ型。
- 02
最初にすること：基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す。
- 03
目標：長さ・角・面積・位置関係と根拠まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「位置ベクトルの始点と係数和の条件」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
平面ベクトルの入口問題
平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント|a|=√5、|b|=√10です。
- a・b=2×1＋(−1)×3=−1。
- |a||b|=√5×√10=√50=5√2。
- cosθ=−1/(5√2)=−√2/10。
答えa・b=−1、cosθ=−√2/10
確かめcosθは負で、内積も負なので、なす角が鈍角という符号関係が一致します。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。 この問題で使った「ベクトル等式の係数比較」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 対応する成分の積を足して内積を求める。
- 各ベクトルの大きさを計算する。
- a・b=|a||b|cosθを使う。
答え成分表示でa・b=a₁b₁+a₂b₂、またa・b=|a||b|cosθです。
確かめ定義と最初の一手「基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「位置ベクトルの始点と係数和の条件」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す
- |a||b|=√5×√10=√50=5√2。
- cosθ=−1/(5√2)=−√2/10。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答えa・b=−1、cosθ=−√2/10
確かめcosθは負で、内積も負なので、なす角が鈍角という符号関係が一致します。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。
答えと解説
|a|=√5、|b|=√10です。 cosθは負で、内積も負なので、なす角が鈍角という符号関係が一致します。
【同じ問題を説明する】平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
成分表示でa・b=a₁b₁+a₂b₂、またa・b=|a||b|cosθです。
【同じ問題を検算する】平面ベクトルa=(2,−1)、b=(1,3)について、内積a・bと、二つのベクトルがなす角θのcos θを求めなさい。 「ベクトル等式の係数比較」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「位置ベクトルの始点と係数和の条件」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
位置ベクトルの始点と係数和の条件
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「長さ・角・面積・位置関係と根拠」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
ベクトル等式の係数比較は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「基準点と基底ベクトルを選び、係数で表す」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「ベクトル等式の係数比較」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「位置ベクトルの始点と係数和の条件」を避けて理由まで説明できれば合格です。