30秒でわかる答え
長さ・角・垂直を内積へ翻訳する型。 最初の一手は「基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く」。答えを出したら、「大きさと成分、0ベクトルの扱い」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
空間ベクトルの内積では、なぜこの手順から始めるの？
図は少しゆがんで描かれることがありますが、定義や定理で保証された性質は変わりません。見た目ではなく根拠をつなぐことで、どんな図でも同じ方法が使えます。
ここだけは押さえる4点
- 01
長さ・角・垂直を内積へ翻訳する型。
- 02
最初にすること：基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く。
- 03
目標：内積、角度、垂直条件まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「大きさと成分、0ベクトルの扱い」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
空間ベクトルの入口問題
空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント座標の差は(3,−4,6)です。
- ABベクトルは(4−1,−2−2,5−(−1))=(3,−4,6)。
- AB²=3²＋(−4)²＋6²=9＋16＋36=61。
- AB=√61。
答え√61
確かめ√61を2乗すると、三方向の差の2乗和61に戻ります。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。 この問題で使った「空間ベクトルの内積」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- B−Aで各座標の差を求める。
- 三つの差の2乗を足す。
- 距離なので正の平方根を取る。
答え空間の2点間距離は√{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²}です。
確かめ定義と最初の一手「基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「大きさと成分、0ベクトルの扱い」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く
- AB²=3²＋(−4)²＋6²=9＋16＋36=61。
- AB=√61。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え√61
確かめ√61を2乗すると、三方向の差の2乗和61に戻ります。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。
答えと解説
座標の差は(3,−4,6)です。 √61を2乗すると、三方向の差の2乗和61に戻ります。
【同じ問題を説明する】空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
空間の2点間距離は√{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²}です。
【同じ問題を検算する】空間内の2点A(1,2,−1)、B(4,−2,5)の距離を求めなさい。 「空間ベクトルの内積」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「大きさと成分、0ベクトルの扱い」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
大きさと成分、0ベクトルの扱い
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「内積、角度、垂直条件」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
空間ベクトルの内積は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「基準ベクトルで成分化し、内積の式を書く」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「空間ベクトルの内積」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「大きさと成分、0ベクトルの扱い」を避けて理由まで説明できれば合格です。