30秒でわかる答え
比例は y÷x が一定で y=ax、反比例は x×y が一定で y=a/x。表では『商』か『積』、式では x の位置、グラフでは原点を通る直線か双曲線かを照合します。
なぜそうなる？
なぜ、比例は『商』、反比例は『積』を見るの？
比例 y=ax の両辺を x で割ると y/x=a になり、どの組でも商が同じです。反比例 y=a/x の両辺に x を掛けると xy=a になり、どの組でも積が同じです。どちらも比例定数 a を取り出しているだけなので、丸暗記ではなく式から説明できます。
ここだけは押さえる4点
- 01
比例：y/x=a（x≠0）が一定。xが2倍ならyも2倍になる。
- 02
反比例：xy=a が一定。xが2倍ならyは1/2倍になる。
- 03
y=ax+b（b≠0）は直線でも比例ではない。比例のグラフは必ず原点を通る。
- 04
表だけで決めず、式・表・グラフのうち二つ以上で確かめる。
動かして、関係を確かめる
値や手順を自分で変え、説明と結果が同時にどう動くか確認してください。
x≠0のとき、商 y÷x は 3 で一定
表示範囲：x、yともに−4〜4。黄緑の点が選択中です。
| x | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -12 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 12 |
考え方がつながる例題3問
商と積で見分ける
表A：x=1,2,4 に対し y=3,6,12。表B：x=1,2,4 に対し y=12,6,3。AとBはそれぞれ比例・反比例のどちらですか。
ヒント・解説を見る
ヒントAでは y÷x、Bでは x×y を3組とも計算します。
- A：3÷1=6÷2=12÷4=3
- B：1×12=2×6=4×3=12
- 一定になった量を比例定数aとして式にする
答えAは比例で y=3x。Bは反比例で y=12/x。
確かめxを2倍にしたとき、Aのyは2倍、Bのyは1/2倍になっています。
面積一定を式にする
面積24cm²の長方形で、横をx cm、縦をy cmとします。yをxの式で表し、比例か反比例か答えなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント長方形の面積は横×縦です。
- 条件を xy=24 と表す
- 両辺をxで割り y=24/x
- 積xyが24で一定と確認する
答えy=24/x。yはxに反比例し、比例定数は24。
確かめx=3ならy=8、x=6ならy=4で、xが2倍になるとyは半分です。
直線でも比例とは限らない
入場料500円に加えて、1回200円のアトラクションにx回乗ると合計y円です。yはxに比例しますか。
ヒント・解説を見る
ヒントx=0のときのyと、式の定数項を確認します。
- 合計を y=200x+500 と表す
- x=0でもy=500
- 原点(0,0)を通らないので比例ではない
答え比例ではありません。y=200x+500という関係です（中2では、この形を一次関数として学びます）。
確かめ『一定の割合で増える』だけでは比例と決められません。
基礎→標準→発展の3段階演習
x=2,4,8、y=20,10,5 の関係を式で表しなさい。
答えと解説
xyを計算すると、すべて40です。
yはxに比例し、x=−3のときy=12。x=5のときのyを求めなさい。
答えと解説
12=−3a より a=−4。したがって y=−4x。
120kmを一定の速さx km/hで進む時間をy時間とする。式・変域・x=80のときのyを答えなさい。
答えと解説
道のり=速さ×時間よりxy=120。単位と現実条件も答えに含めます。
間違いを、理由から直す
比例と反比例、変域の端点の混同
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「x・y・比例定数の表を作る」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「式・特徴点・変域・最大最小・グラフ」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
比例定数は負でもよい？
よいです。比例では右下がりの直線、反比例では第2・第4象限の双曲線になります。
表の1組だけで比例・反比例と断定できる？
式が比例・反比例だと分かっているなら定数を求められますが、表だけから関係を判定するには複数組で一定性を確かめます。
x=0を反比例の式へ入れられないのはなぜ？
0で割る計算は定義できないためです。反比例 y=a/x の変域にはx=0を含めません。
自分で確かめる探究ミニ課題
水の量と水面の高さは比例する？
円柱形の容器と、上に広がる容器へ同じ量ずつ水を入れたとき、水量と水面の高さの関係は同じでしょうか。
- 50mLずつ水を増やして高さを測る
- 水量xと高さyの表・グラフを作る
- y/xがほぼ一定か調べ、測定誤差と容器の形から違いを説明する