30秒でわかる答え
反比例は、xとyの積が一定になる関係で y=a/x と表します。xを2倍にするとyは1/2倍。x=0では割り算を定義できないため、グラフは座標軸に近づいても交わりません。
なぜそうなる？
なぜ、反比例のグラフは二つに分かれ、座標軸と交わらないの？
y=a/xではx=0を使えません。またa≠0ならy=0になることもありません。そのためグラフはx軸・y軸を横切らず、xが正の側と負の側に分かれます。|x|を大きくすると|y|は0に近づきますが、0そのものにはなりません。
ここだけは押さえる4点
- 01
式はy=a/x、同じ意味の式はxy=a。積x×yが比例定数aになる。
- 02
xをk倍すると、yは1/k倍になる（k≠0）。
- 03
a>0なら第1・第3象限、a<0なら第2・第4象限にグラフが現れる。
- 04
x=0は変域に含めない。現実場面では正の整数など、さらに範囲が狭くなることがある。
動かして、関係を確かめる
値や手順を自分で変え、説明と結果が同時にどう動くか確認してください。
分数の正確な値では、積 x×y は 3 で一定
表示範囲：x、yともに−4〜4。黄緑の点が選択中です。
| x | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -0.75 | -1.5 | -3 | 3 | 1.5 | 0.75 |
考え方がつながる例題3問
1点から比例定数を求める
yはxに反比例し、x=−3のときy=8です。式を求め、x=6のときのyを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント反比例ではa=xyです。
- a=(−3)×8=−24
- 式をy=−24/xと書く
- x=6を代入する
答えy=−24/x、x=6のときy=−4
確かめ6×(−4)=−24で積が一致します。
象限と座標を読む
y=8/xのグラフが通る象限を答え、x=−4,−2,2,4に対応するyを求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントa=8は正です。
- a>0なのでxとyの符号は同じ
- 各xで8÷xを計算
- 座標を左右の枝へ置く
答え第1・第3象限。点は(−4,−2),(−2,−4),(2,4),(4,2)。
確かめどの点もxy=8で、x軸・y軸上にはありません。
面積一定の長方形
面積48cm²の長方形で、横x cm、縦y cmとします。x=6とx=12のときのyを求め、変化を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントxy=48です。
- y=48/xと表す
- x=6ならy=8
- x=12ならy=4
答えyは8cmから4cmになり、xが2倍になるとyは1/2倍です。
確かめ6×8も12×4も48cm²です。
基礎→標準→発展の3段階演習
y=30/xでx=−5のときのyを求めなさい。
答えと解説
30÷(−5)=−6です。
反比例のグラフが点(4,−7)を通ります。式と、x=−2のときのyを求めなさい。
答えと解説
a=4×(−7)=−28。−28÷(−2)=14です。
240kmを一定の速さx km/hで進む時間をy時間とします。式、現実の変域、時速80kmの時間を答えなさい。
答えと解説
xy=240。実際には交通条件や速度制限も考える必要があります。
間違いを、理由から直す
比例と反比例、変域の端点の混同
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「x・y・比例定数の表を作る」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「式・特徴点・変域・最大最小・グラフ」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
x=0を使えない理由は？
a÷0という計算を定義できないためです。反比例の式とグラフのどちらでもx=0を除きます。
グラフは座標軸に触れる？
a≠0なら触れません。xやyが0になると積xyがaではなく0になってしまいます。
片方が増えて片方が減れば反比例？
それだけでは足りません。複数の対応で積xyが一定か、式がy=a/xかを確かめます。
自分で確かめる探究ミニ課題
面積48cm²の長方形を何通り作れる？
整数の辺だけで長方形を作り、xとyの対応、周の長さ、形の見え方を比べましょう。
- xy=48になる正の整数の組を全て探す
- 各組を方眼紙に描き、周の長さも計算する
- 反比例の関係と、最も正方形に近い形の特徴を説明する