30秒でわかる答え
多項式・展開・因数分解で「余りに関する証明」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。 最初の一手は「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」。答えを出したら、「場合分けの漏れと十分性未確認」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
余りに関する証明では、なぜこの手順から始めるの？
一つの例が成り立っても、すべての場合の証明にはなりません。仮定と結論、必要と十分を分け、反例がないところまで確認して初めて結論が確定します。
ここだけは押さえる4点
- 01
多項式・展開・因数分解で「余りに関する証明」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。
- 02
最初にすること：仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける。
- 03
目標：条件範囲、証明、反例、存在の結論まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「場合分けの漏れと十分性未確認」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
多項式・展開・因数分解の入口問題
式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント積が−10、和が3になるのは5と−2です。
- x²＋3x−10=(x＋5)(x−2)。
- x=7を代入すると(7＋5)(7−2)。
- 12×5=60。
答え(x＋5)(x−2)、x=7のとき60
確かめ(x＋5)(x−2)を展開するとx²＋3x−10に戻ります。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。 この問題で使った「余りに関する証明」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 積が−10、和が3になる二数を探す。
- 二つの一次式の積に直す。
- 因数分解した式へx=7を代入する。
答えx²+(a+b)x+abは(x+a)(x+b)と因数分解できます。
確かめ定義と最初の一手「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「場合分けの漏れと十分性未確認」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける
- x=7を代入すると(7＋5)(7−2)。
- 12×5=60。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え(x＋5)(x−2)、x=7のとき60
確かめ(x＋5)(x−2)を展開するとx²＋3x−10に戻ります。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。
答えと解説
積が−10、和が3になるのは5と−2です。 (x＋5)(x−2)を展開するとx²＋3x−10に戻ります。
【同じ問題を説明する】式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
x²+(a+b)x+abは(x+a)(x+b)と因数分解できます。
【同じ問題を検算する】式 x²＋3x−10 を因数分解し、x=7のときの値を工夫して求めなさい。 「余りに関する証明」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「場合分けの漏れと十分性未確認」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
場合分けの漏れと十分性未確認
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件範囲、証明、反例、存在の結論」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
余りに関する証明は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「余りに関する証明」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「場合分けの漏れと十分性未確認」を避けて理由まで説明できれば合格です。