30秒でわかる答え
根号の定義域と平方の関係を保ちながら変形する型。 最初の一手は「根号内の非負条件と平方数の因数を確認する」。答えを出したら、「±、定義域、同類でない根号」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
平方根を利用して解くでは、なぜこの手順から始めるの？
左右に同じ操作をするのは、つり合いを保ったまま未知数だけを取り出すためです。途中式ごとに同値性と条件を守ることで、余分な解や解の落としを防げます。
ここだけは押さえる4点
- 01
根号の定義域と平方の関係を保ちながら変形する型。
- 02
最初にすること：根号内の非負条件と平方数の因数を確認する。
- 03
目標：定義域を満たす簡約形または解まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「±、定義域、同類でない根号」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
二次方程式の入口問題
二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント左辺は(x−7)(x＋2)と因数分解できます。
- x²−5x−14=(x−7)(x＋2)。
- (x−7)(x＋2)=0よりx−7=0またはx＋2=0。
- したがってx=7またはx=−2。
答えx=7, −2
確かめ7²−5×7−14=0、(−2)²−5×(−2)−14=0です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。 この問題で使った「平方根を利用して解く」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 積が−14、和が−5になる二数を探す。
- 左辺を因数分解する。
- 積が0になる条件を使い、両方の解を検算する。
答えAB=0ならばA=0またはB=0です。
確かめ定義と最初の一手「根号内の非負条件と平方数の因数を確認する」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「±、定義域、同類でない根号」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 根号内の非負条件と平方数の因数を確認する
- (x−7)(x＋2)=0よりx−7=0またはx＋2=0。
- したがってx=7またはx=−2。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答えx=7, −2
確かめ7²−5×7−14=0、(−2)²−5×(−2)−14=0です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。
答えと解説
左辺は(x−7)(x＋2)と因数分解できます。 7²−5×7−14=0、(−2)²−5×(−2)−14=0です。
【同じ問題を説明する】二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
AB=0ならばA=0またはB=0です。
【同じ問題を検算する】二次方程式 x²−5x−14=0 を解きなさい。 「平方根を利用して解く」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「±、定義域、同類でない根号」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
±、定義域、同類でない根号
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「根号内の非負条件と平方数の因数を確認する」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「定義域を満たす簡約形または解」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
平方根を利用して解くは何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「根号内の非負条件と平方数の因数を確認する」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「平方根を利用して解く」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「±、定義域、同類でない根号」を避けて理由まで説明できれば合格です。