30秒でわかる答え
比例・反比例・どちらでもない関係は、『増える・減る』だけで決めません。表ではy/xとxy、式ではy=axとy=a/x、グラフでは原点を通る直線と双曲線を順に照合します。
なぜそうなる？
なぜ、『片方が増えると片方も増える』だけでは比例と言えないの？
比例ではxが2倍・3倍ならyも必ず2倍・3倍になり、y/xが一定です。y=2x+5のような関係もxとともに増えますが、最初から5が加わるので商は一定ではなく、原点も通りません。増減は手掛かりの一つで、一定になる量まで確認して判定します。
ここだけは押さえる4点
- 01
比例：x≠0でy/xが一定、式y=ax、原点を通る直線。
- 02
反比例：xyが一定、式y=a/x、座標軸と交わらない双曲線。
- 03
どちらでもない例：y=3x+2、y=100−2x、y=x²。
- 04
表・式・グラフ・場面のうち二つ以上を照合し、現実の変域も付ける。
動かして、関係を確かめる
値や手順を自分で変え、説明と結果が同時にどう動くか確認してください。
x≠0のとき、商 y÷x は 3 で一定
表示範囲：x、yともに−4〜4。黄緑の点が選択中です。
| x | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -12 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 12 |
考え方がつながる例題3問
三つの表を分類する
x=1,2,4に対し、Aのy=5,10,20、Bのy=24,12,6、Cのy=4,7,13です。分類し、式を答えなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントAは商、Bは積、Cはどちらも調べます。
- A：y/x=5で一定
- B：xy=24で一定
- C：商も積も一定でない
答えAは比例y=5x、Bは反比例y=24/x、Cはどちらでもない。
確かめCはy=3x+1ですが、直線でも原点を通らないため比例ではありません。
式の形から見抜く
y=−4x、y=−4/x、y=−4x+1、xy=−4を分類しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント最後の式はyの形へ直せます。
- y=axを探す
- y=a/xまたはxy=aを探す
- 定数項がある式を分ける
答えy=−4xは比例。y=−4/xとxy=−4は反比例。y=−4x+1はどちらでもない。
確かめ同じa=−4でも、xを掛けるかxで割るかで関係が変わります。
日常の関係を分類する
①1個180円の品物x個の代金y円、②面積60cm²の長方形の横x cmと縦y cm、③100cmのろうそくが毎分2cm短くなるときのx分後の長さy cmを分類しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントそれぞれ式にします。
- ①y=180x
- ②y=60/x
- ③y=100−2x
答え①比例、②反比例、③どちらでもない。
確かめ③は減少しますが、積xyは一定ではありません。
基礎→標準→発展の3段階演習
y=7x、y=7/x、y=x+7を分類しなさい。
答えと解説
式の標準形で判断します。
x=2,3,6、y=18,12,6の関係を式で表しなさい。
答えと解説
xyは全て36です。
x=1,2,3,4、y=2,4,6,8という有限の表だけで、全ての実数xについてy=2xだと証明できますか。
答えと解説
有限個の点を通る別の関数も作れるため、問題文の規則や式の条件が必要です。
間違いを、理由から直す
比例と反比例、変域の端点の混同
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「x・y・比例定数の表を作る」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「式・特徴点・変域・最大最小・グラフ」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
直線なら必ず比例？
いいえ。比例の直線は原点を通ります。y=ax+bでb≠0なら比例ではありません。
反比例は必ず右下がり？
a>0の各枝は右下がりですが、a<0では第2・第4象限に現れます。象限と式を一緒に確認します。
判定の最短手順は？
式があれば形、表なら商と積、グラフなら原点・直線・座標軸との関係の順で確認します。