30秒でわかる答え
数と式で「解の存在条件」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。 最初の一手は「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」。答えを出したら、「場合分けの漏れと十分性未確認」という間違いがないかを確認します。
なぜそうなる？
解の存在条件では、なぜこの手順から始めるの？
一つの例が成り立っても、すべての場合の証明にはなりません。仮定と結論、必要と十分を分け、反例がないところまで確認して初めて結論が確定します。
ここだけは押さえる4点
- 01
数と式で「解の存在条件」が問われ、必要・十分、反例、存在条件を分け、全場合を閉じる型。
- 02
最初にすること：仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける。
- 03
目標：条件範囲、証明、反例、存在の結論まで、根拠をつないで示す。
- 04
見直し：「場合分けの漏れと十分性未確認」という間違いがないか、元の条件へ戻って確かめる。
考え方がつながる例題3問
数と式の入口問題
不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。
ヒント・解説を見る
ヒントまず−5≤2x−3≤5とします。
- −5≤2x−3≤5。
- 各辺に3を足して−2≤2x≤8。
- 各辺を2で割って−1≤x≤4。
答え−1≤x≤4
確かめ端点x=−1,4では|2x−3|=5で、中央のx=0では3≤5です。
同じ問題を、定義から考える
【問題文をもう一度】不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。 この問題で使った「解の存在条件」の定義・性質を説明しなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント答えの計算ではなく、なぜその手順を使えるかを言葉にします。
- 絶対値を0からの距離として読む。
- −5≤2x−3≤5に直す。
- 三辺へ同じ操作をしてxの範囲を出す。
答え|A|≤k（k≥0）は−k≤A≤kと同値です。
確かめ定義と最初の一手「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」がつながっているか確認します。
問題文の条件へ答えを戻す
【問題文をもう一度】不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。 得た答えが、問題文のすべての条件を満たすことを確かめなさい。
ヒント・解説を見る
ヒント「場合分けの漏れと十分性未確認」が起きていないか、元の数・式・図へ戻します。
- 仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける
- 各辺に3を足して−2≤2x≤8。
- 各辺を2で割って−1≤x≤4。
- 答えを問題文の条件へ戻す
答え−1≤x≤4
確かめ端点x=−1,4では|2x−3|=5で、中央のx=0では3≤5です。
基礎→標準→発展の3段階演習
【問題文】不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。
答えと解説
まず−5≤2x−3≤5とします。 端点x=−1,4では|2x−3|=5で、中央のx=0では3≤5です。
【同じ問題を説明する】不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。 計算前の判断を三つ、順番に書きなさい。
答えと解説
|A|≤k（k≥0）は−k≤A≤kと同値です。
【同じ問題を検算する】不等式 |2x−3|≤5 を解きなさい。 「解の存在条件」の定義と問題文の条件を使って、答えが正しい理由を説明しなさい。
答えと解説
「場合分けの漏れと十分性未確認」を避け、答えを元の条件へ戻すところまでが解答です。
間違いを、理由から直す
場合分けの漏れと十分性未確認
答えだけを消してやり直すのではなく、最初の一手「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」へ戻ります。条件を図・表・式へ書き直し、どの行で条件が失われたかを特定してください。
見直しの合言葉
入力の条件、途中の根拠、出力「条件範囲、証明、反例、存在の結論」の三つがつながっているかを確認します。
よくある「なぜ？」
解の存在条件は何を覚えればよい？
答えの形だけでなく、「仮定と結論、必要条件と十分条件を分ける」という最初の判断と、その理由をセットで覚えます。
途中で分からなくなったら、どこへ戻る？
問題文の条件と、求めるものを分けて書きます。その後「「解の存在条件」または同じ条件が現れる」があるかを確認してください。
できたかどうかは、どう判断する？
初見の類題で初手を自分で選び、「場合分けの漏れと十分性未確認」を避けて理由まで説明できれば合格です。